Πιθανότητα

Από την Live-Pedia.gr

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Πιθανότητα

Probability, πιθανότης


Μαθηματικό μέγεθος που περιγράφει την τυχαιότητα μιάς κατάστασης ενός φαινομένου.

Είναι θεμελιώδης έννοια της Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Πίνακας περιεχομένων

Γενικά

Oι πιθανότητες είναι αριθμοί στο διάστημα από 0 μέχρι 1 που αντιστοιχίζονται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν, ή όχι, με κάποιο τυχαίο τρόπο.

Με μαθηματική ορολογία, οι πιθανότητες P(E) αντιστοιχίζονται στα γεγονότα E.


Κλασσική Πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. την ρίψη ενός ζαριού ή ενός νομίσματος.

Βασικές έννοιες

  • Απλό Ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με \,\omega.
  • Δειγματοχώρος \Omega\, είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο \,\omega ισχύει \,\omega\in\Omega.
  • Γεγονός A\, είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του \Omega,\, A \sub\Omega\,. To \Omega\, είναι το ίδιο ένα γεγενός και ονομάζεται βέβαιο γεγονός.

Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού.

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα.

'Εστω \,\omega_1 το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα \,\omega_i, i=2,\dots,6. Ο δειγματοχώρος είναι ο \,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} ή για λόγους απλότητας \,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.

Το γεγονός A\, να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) \,A=\{2, 4, 6\}.

Το γεγονός B\, να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι \,B=\{1, 2\}.

Ορισμός

Η κλασσική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}

Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5
P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333

Μαθηματική πιθανότητα

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων έγινε από τον Kolmogorov.

Ορισμός

Έστω ένα σύνολο Ω και μία σ-άλγεβρά του \mathcal{F}.

Πιθανότητα P\, ονομάζεται η συνάρτηση P:\mathcal{F}\to \R που ικανοποιεί:

  1. P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}
  2. P(\Omega)=1\,
  3. P(\cup_{i\in I}A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j=\emptyset \;\forall i\neq j

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον (\Omega, \mathcal{F}) με την ιδιότητα P(\Omega)=1\,.

Αν στην πιθανότητα P\, αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

P(A)=\int_Af(x)dx\;

Ιδιότητες

  • P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)
  • P(\emptyset) = 0
  • P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F είναι η Δεσμευμένη Πιθανότητα του E με δεδομένο το F; η αριθμητική του τιμή είναι P(E|F)=P(E \cap F)/P(F) (εφόσον η P(F) είναι μη μηδενική).

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E, τότε τα E και F είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F).

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η Τυχαία Μεταβλητή και η Κατανομή Πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής.



Το παρόν άρθρο βασίζεται στο λήμμα Πιθανότητα της Βικιπαίδειας (συνεισφορά).

Εικόνα:Lp-stamp-line.gif
LivePedia.gr :: Η Ελληνική Ελεύθερη Εγκυκλοπαίδεια
Ανακτήθηκε από "http://www.livepedia.gr/index.php/%CE%A0%CE%B9%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1"


H LivePedia.gr είναι μια ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια που αναπτύσσεται χάρη στην εθελοντική προσπάθεια των χρηστών της. Όλοι μπορούν να δημιουργήσουν νέα λήμματα ή να βελτιώσουν και να διορθώσουν λήμματα που ήδη υπάρχουν.
Προσωπικά εργαλεία
Χορηγός Φιλοξενίας Διακομιστή

Toshiba laptops, Dell και άλλοι υπολογιστές, στην Κρήτη


BRING THEM BACK!

H LivePedia.gr στο Facebook

H LivePedia.gr προτείνει τη συμμετοχή όλων στο έργο:
Folding@Home
Folding@Home