Χρυσος αριθμος Φ

Από την Live-Pedia.gr

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Σας ζητω συγγνώμη για το οτι δεν φαινονται οι εικόνες. Αν ενδιαφέρεστε για αυτο το αρθρο επικοινωνηστε μαζι μου μεσω e-mail ή μπειτε στις ιστοσελιδες που αναγραφονται στις παρενθέσεις!

Εισαγωγή

O αριθμός Φ έχει πάρει το όνομα του - Συμβολισμό από τον ΦΕΙΔΙΑ , ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε . Ο Φειδίας ήταν Αθηναίος Γλύπτης (5ος αιώνας π. Χ) και στενός συνεργάτης του Περικλή (Τρία αγάλματα της Αθηνάς έστησε ο Φειδίας στην Ακρόπολη: την Πρόμαχο, τη Λημνία και τη Χρυσελεφάντινη .... Όμοιο σε μέγεθος και υλικά κατασκευής ήταν και το άγαλμα του χρυσελεφάντινου Δία της Ολυμπίας, έργο του ίδιου γλύπτη και ένα από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου.)
Πατέρας του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - Φ - είναι ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ . Ο Πυθαγόρας (585 - 500 π.Χ.) γεννήθηκε στη Σάμο, αλλά έζησε και έδρασε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Ο Πυθαγόρας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής .Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή , ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα.. Για τους πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ και η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ"

.Την φράση "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" σίγουρα την έχετε ακούσει. Χρησιμοποιείται ευρύτερα και σημαίνει να "βρούμε την σωστή λύση" , την κατάλληλη λύση δηλαδή που πρέπει ή που ταιριάζει σε κάποιο πολιτικό ή κοινωνικό ή οικονομικό θέμα κ.λ.π. Η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" όμως έχει "ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ " , είναι γνωστή ως το "γεωμετρικό πρόβλημα" της "Χρυσής Τομής" . (el.wikipedia.org 11/3/08)


ΤΟ Φ στα μαθηματικά
To "Φ" αντιστοιχεί στο μαθηματικό σύμβολο του λεγόμενου "χρυσού αριθμού" ή "χρυσής τομής", όπως έχει περάσει στην καθημερινή μας γλώσσα. Πρόκειται για έναν άρρητο (όπως και το "π") αριθμό, έναν αριθμό δηλαδή του οποίου τα δεκαδικά ψηφία δε σταματούν πουθενά. Με ακρίβεια 150 δεκαδικών ψηφιών, ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο νούμερο:
1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766...
Πολύ πιο πρακτικό βεβαίως, είναι το να αγνοήσουμε την απειρία των δεκαδικών του ψηφίων και να στρογγυλέψουμε την τιμή του Φ στο 1,62 (Για την ακρίβεια, το Φ, όπως και το π, δεν παριστάνει κάποιον αριθμό, καθότι άρρητο. Το Φ, ουσιαστικά, εκφράζει αναλογία, η οποία προσεγγίζεται μέσω των παραπάνω αριθμών) .

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο άνισα μέρη, κατά τρόπο ώστε η αναλογία του συνολικού του μήκους προς το μήκος του μεγαλύτερου μέρους να ισούται με την αναλογία του μήκους του μεγαλύτερου μέρους προς το μήκος του μικρότερου. Στο σχήμα μας δηλαδή, θέλουμε ο λόγος ΑΓ δια ΑΒ να ισούται με το λόγο ΑΒ δια ΒΓ. Η τομή στο Β, η "χρυσή τομή" δηλαδή, είναι εκείνη η οποία επιτυγχάνει το αποτέλεσμα αυτό, και στη μοναδική αυτή χρυσή τομή ο λόγος ΑΓ/ΑΒ και ΑΒ/ΒΓ ισούται πάντοτε (ανεξάρτητα φυσικά από το μήκη των εκάστοτε ευθύγραμμων τμημάτων) με 1,62..., δηλαδή με το Φ.
Ο παραπάνω είναι ο απλούστερος τρόπος για να ορίσει κανείς το Φ. Υπάρχουν όμως και αμέτρητοι διαφορετικοί τρόποι μέσω των οποίων το Φ, δεν ορίζεται, αλλά προκύπτει από τα μαθηματικά. Ο πιο γνωστός από αυτούς είναι η λεγόμενη ακολουθία του Fibonacci, από το όνομα του Ιταλού μαθηματικού Leonardo Fibonacci, ο οποίος την πρωτοπεριέγραψε στο βιβλίο του Liber Abaci που έξέδωσε το 1202. Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci ορίζεται απλά ως μια σειρά αριθμών, ο καθένας εκ των οποίων προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του. Δηλαδή:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .
Το 5 ισούται με 2+3, το 8 με 3+5, το 13 με 5+8 κλπ.

Το ενδιαφέρον τώρα στη σειρά αυτή είναι ότι, εάν κανείς διαιρέσει τον κάθε αριθμό της σειράς με τον αμέσως προηγούμενο του, το πηλίκο της διαίρεσης προσεγγίζει σταδιακά όλο και περισσότερο στο Φ. Έτσι, 5/3=1,666..., 8/5=1,60, 13/8=1,625, 21/13=1,615... 1597/987=1,61803... Παρατηρήστε ότι, κατά περίεργο τρόπο, τα διαδοχικά ζεύγη διαιρούμενων αριθμών υποτιμούν και υπερτιμούν εναλλάξ την τιμή του Φ, προσεγγίζοντας την διαρκώς με άπειρη ακρίβεια.
Τα παραπάνω αποτελούν μονάχα το πρώτο εκατοστό της κορυφής του παγόβουνου σε σχέση με τους αμέτρητους διαφορετικούς τρόπους μέσω των οποίων το Φ ξεπροβάλει διαρκώς μέσα από την ίδια τη δομή των μαθηματικών.
Για παράδειγμα, το Φ φαίνεται να διατηρεί στενές σχέσεις με τον αριθμό 5. Έτσι:
5^0,5×0,5+0,5 = Φ (το ^ συμβολίζει την ύψωση σε δύναμη - εδώ εις την ½)

Ενώ συγκεντρώνει και αρκετές άλλες, ενδιαφέρουσες ιδιότητες:
Φ² = Φ+1 και 1/Φ = Φ-1

Προβλήματα με το Φ

Από το Β υψώνουμε κάθετο ΒΚ=α/2. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΒ=α/2 , γράφομε περιφέρεια Κύκλου . Από το Α φέρνομε την ευθεία ΑΚ , η οποία και θα τέμνει την περιφέρεια του Κύκλου στα σημεία Δ και Ε .
Γράφομε επίσης περιφέρεια Κύκλου με κέντρο το Α και ακτίνα την απόσταση ΑΔ . Το σημείο Γ , όπου η περιφέρεια αυτή τέμνει το τμήμα ΑΒ , είναι το ζητούμενο σημείο , που τέμνει με "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" το τμήμα ΑΒ.
Άρα : H επιδιωκόμενη κατάτμηση (ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ) σε δύο μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος έτσι ώστε να ΤΗΡΕΙΤΑΙ ότι ....
Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ =(είναι ίσος) ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ...
ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. =
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ (Φ)(www.asxetos.gr 14/3/08)

Οι χρήσεις του Φ
Οι «μαγικές» ιδιότητες του Φ, αλλά και οι πολλοί και αναπάντεχοι τρόποι με τους οποίους αυτό ανακύπτει στον κόσμο μας, θα μπορούσαν να αποτελέσουν αντικείμενο μελέτης μιας ολόκληρης ζωής. Ο Γερμανός αστρονόμος Johannes Kepler, ο οποίος έμεινε στην ιστορία για τους περίφημους του νόμους περί της κίνησης των Πλανητών, χαρακτήρισε το Φ, μαζί με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ως τους δύο μεγάλους θησαυρούς της Γεωμετρίας. Και πραγματικά, το Φ έχει συσχετιστεί, περισσότερο ή λιγότερο άμεσα, με πλήθος φυσικών μεγεθών, φαινομένων ή ανθρώπινων εκδηλώσεων, όπως πχ με τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, την πορεία του δείκτη τιμών των χρηματιστηρίων και άλλων χαοτικών φαινομένων, τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο, το σχήμα των πιστωτικών καρτών, τη γεωμετρική δομή των κρυστάλλων, τις χρωματικές και σχεδιαστικές αναλογίες έργων μεγάλων ζωγράφων όπως ο Leonardo da Vinci, τους βιορυθμούς του ανθρώπινου σώματος και τον καρδιακό ρυθμό, τα σωματικά χαρακτηριστικά διαφόρων ζώων, το "π", τη σταθερά Feigenbaum της Χαολογίας, τα θεολογικά κείμενα διαφόρων θρησκειών και πολλά άλλα ακόμη που θα αναλυθούν παρακάτω.
Αναμφίβολα, ανάμεσα στους συσχετισμούς αυτούς, υπάρχουν και αρκετοί οι οποίοι είναι περιστασιακοί και τυχαίοι. Το πλήθος όμως των σαφών, κατάδηλων και αναμφίβολων αντιστοιχιών του Φ με τον κόσμο μας αρκούν για να το κατατάξουν ως μια αινιγματικά σημαντική και παγκόσμια αναλογία.

το Φ στην TEXNH 
Το ημιτελές έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι Saint Jerome απεικονίζει τον Ηρακλή με ένα λιοντάρι να ξαπλώνει στο πόδι του. Ένα χρυσό παραλληλόγραμμο ταιριάζει ακριβώς γύρω από την κεντρική φιγούρα. Γι΄αυτό συχνά λέγεται ότι ο καλλιτέχνης σκόπιμα σχεδίασε την φιγούρα ώστε να ταιριάζει σε αυτή την αναλογία. Παρατηρήστε πως η κλασσική υποδιαίρεση του παραλληλόγραμμου στοιχιζεται με το προτεταμένο χέρι του St. Jerome

H ιερή οικογένεια του Michelangelo είναι διακεκριμένο έργο εξαιτίας της αναλογίας των κυρίων φιγούρων οι οποίες σχηματίζουν ένα πεντάγωνο(χρυσό αστέρι)





Η αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt (1606-1669) είναι ένα παράδειγμα
τριγωνικής σύνθεσης – κρατώντας ένα περίπλοκο θέμα που περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Τα άνισα μήκη των πλευρών τους προσθέτουν λίγη διαφορετικότητα. Η κάθετη γραμμή από την κορυφή του τρίγωνου στη βάση τέμνει τη βάση στο σημείο της χρυσής τομής.



Norham Castle at Sunrise
Σε αυτή τη ζωγραφιά υπάρχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις γεωμετρικές ομοιότητες στους ποικίλους καμβάδες του με τις χρυσές υποδιαιρέσεις



Σύμφωνα με μια έρευνα ο Seurat είχε σχεδιάσει όλους τους καμβάδες του με την αναλογία της χρυσής τομής. Το έργο Bathers έχει χρυσές υποδιαιρέσεις. Τρεις ‘‘χρυσές’’ φιγούρες έχουν τοποθετηθεί εκεί.


(britton.disted.camosun.bc.ca 17/3/08)

το Φ στην ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

οι αρχαίοι αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στη τέχνη. Χρησιμοποίησαν την αναλογία της χρυσής τομής στο χτίσιμο των πυραμίδων. Αν κάνουμε μια τομή στην μεγάλη πυραμίδα, βλέπουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο που λέγεται Αιγυπτιακό τρίγωνο (Egyptian Triangle). Η αναλογία της διαγώνιου της πυραμίδας (υποτείνουσα του τριγώνου) προς την απόσταση από το κέντρο του εδάφους (το μισό μέγεθος της βάσης) ισούται με 1,61804… το οποίος αριθμός διαφέρει από το Φ μόνο κατά 0,00003

Ο Παρθενώνας είναι μάλλον το καλύτερο παράδειγμα μαθηματικής προσέγγισης στην τέχνη. Ο αρχαίος ναός ταιριάζει ακριβώς σε ένα χρυσό παραλληλόγραμμο. Οι υποδιαιρέσεις του παραλληλόγραμμου ευθυγραμμίζονται ακριβώς στο μεγαλύτερο μέρος τους με την αρχιτεκτονική δομή του κτίσματος



Το Φ στη Φύση
Ο Πυθαγόρας πρώτος παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Δεν είναι τυχαία δηλαδή τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών. Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία. Επίσης η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται ακόμα και στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίου
Εάν οι σχέσεις του Φ με τον κόσμο μας περιορίζονταν στις μαθηματικές του ιδιότητες, τα πράγματα θα ήταν σχετικά απλά. Το περίεργο όμως είναι ότι το Φ ξεπροβάλει και μέσα από τη γεωμετρία της ίδιας της (Φ)ύσης. Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή, που βασίζονται στο Φ, απαντώνται στις σπείρες οστρακοειδών όπως ο "Ναυτίλος", αλλά και στο σχήμα αρκετών σπειροειδών Γαλαξιών . Ακόμα και στις σπείρες του DNA ή στα δακτυλικά μας αποτυπώματα έχουν αποκαλυφθεί μαθηματικές σχέσεις που ενέχουν το Φ.
Πέρα όμως από τον περίεργο, θεμελιώδη ρόλο του στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και τις μορφές της φύσης, το Φ έχει και μια άλλη, καθαρά ανθρώπινη ιδιαιτερότητα. Παρότι τα ανθρώπινα γούστα διακρίνονται για την υποκειμενικότητα τους, τα σχήματα τα οποία εμπεριέχουν στη γεωμετρία τους την αναλογία του Φ θεωρούνται τα πιο αρμονικά και ευχάριστα από αισθητικής άποψης για το ανθρώπινο μάτι (εγκέφαλο). (www.asxetos.gr - www. users.sch.gr 5/5/08)


Χρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπια
Εάν αντί να χρησιμοποιήσουμε το ψαλίδι σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομές και σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμε τα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει να φτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζει η φύση και το διακρίνουμε

(users.sch.gr 5/5/08)


Συμβολα με αναλογίες Φ
Περιδιαβαίνοντας τις πλαγιές της Πεντέλης, ο επισκέπτης συχνά διακατέχεται από μια περίεργη αίσθηση. Ανάγλυφα, στους βράχους της Πεντέλης, υπάρχουν σκαλισμένα διάφορα σχέδια, άλλα παλιά και άλλα σύγχρονα. Ανάμεσα σε όλα τα υπόλοιπα, υπάρχει και μια ειδική κατηγορία σύγχρονων σκαλισμάτων, η οποία συγκεντρώνει κάποια αρκετά ασυνήθιστα χαρακτηριστικά, και είναι αυτή κυρίως η κατηγορία που θα μας απασχολήσει στην ενότητα αυτή. Για λόγους πρακτικής διάκρισης και μόνο, στα σκαλίσματα αυτά θα αναφερόμαστε στο εξής με τον όρο "σχήματα", σε αντίθεση με τα παλαιότερα σκαλίσματα, τα οποία θα αποκαλούμε "σχέδια" και τα διάφορα σημάδια, τα οποία θα αποκαλούμε απλώς "σημάδια".

Τα σχήματα, όπως είπαμε, παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Το εμφανέστερο κοινό τους χαρακτηριστικό είναι η τέχνη και η ακρίβεια με την οποία αυτά έχουν σκαλιστεί. Σε μερικές περιπτώσεις, η τέχνη αυτή είναι τόσο λεπτή και η ακρίβεια σκαλίσματος τόσο υψηλή, ώστε κάποια από τα σχήματα αυτά μπορούν άνετα να χαρακτηριστούν ως πραγματικά αριστοτεχνήματα.

Τα παραπάνω μας οδηγούν στο δεύτερο κοινό χαρακτηριστικό των σχημάτων. Τα σχήματα, λόγω ακριβώς της τέχνης και της ακρίβειας τους, δε θα μπορούσαν να έχουν σκαλιστεί παρά από χέρι έμπειρου λιθοξόου ή γλύπτη, καθώς ακόμα και τα πιο απλά από αυτά διακρίνονται για την ακρίβεια της φόρμας τους.


Δεν ξεκινήσαμε τυχαία από τα "Φ" των σχημάτων 1 και 2. Η κατανόηση του συμβολισμού του "Φ" εξηγεί σε μεγάλο βαθμό και τα περισσότερα από τα χαρακτηριστικά των υπολοίπων γεωμετρικών σχημάτων.

Το σκαλισμένο "Φ" λοιπόν των σχημάτων 1 και 2 συμβολίζει το Φ της "χρυσής τομής ή αναλογίας". Η αναλογία αυτή ενυπάρχει και στο σχήμα το ίδιο:

ΑΒ ≈ 27,5 cm, ΓΔ ≈ 17 cm, ΑΒ/ΓΔ ≈ 1.618 ≈ Φ. (Σημείωση: Επειδή τα σχήματα είναι ανάγλυφα και τα «τοιχώματα» των τμημάτων τα οποία εξέχουν φέρονται λοξά ως προς τα εισέχοντα τμήματα, οι μετρήσεις -αλλά και το ίδιο το σκάλισμα των σχημάτων- δεν μπορούν να είναι απόλυτα ακριβείς, πέρα από κάποιο όριο - τίθεται ζήτημα κατά πόσο κανείς μετράει από τη βάση ή την κορυφή του εξέχοντος τμήματος σε σχέση με το εισέχον. Για το λόγο αυτό, τα νούμερα των μετρήσεων δίδονται κατά προσέγγιση (≈). Τις αναλογίες αυτές μπορείτε να τις επαληθεύσετε χονδρικά, λαμβάνοντας όμως υπόψιν την παραμόρφωση η οποία προκύπτει από τη λοξή φορά με την οποία έχουν τραβηχτεί οι περισσότερες φωτογραφίες, ώστε να φωτοσκιάζονται καλύτερα. Στις διαστάσεις των περισσοτέρων σχημάτων υπάρχουν και άλλες αναλογίες Φ, πέρα από όσες εμείς σημειώνουμε εδώ.)
Εδώ, μετράμε τη διάμετρο του Φ διαγωνίως επειδή, εάν κοιτάξετε προσεκτικά, θα διακρίνετε ότι το Ο του Φ δεν αποτελεί κύκλο αλλά έλλειψη, οπότε και το ΓΔ αντιστοιχεί στη μέση διάμετρο της συγκεκριμένης έλλειψης. Όσο για τα γράμματα τα οποία βρίσκονται σκαλισμένα παραδίπλα, αυτά, σε αρχαιοελληνική αρίθμηση, αντιστοιχούν στην ημερομηνία 25-8-1984, η οποία κατά πάσα πιθανότητα είναι και η ημερομηνία κατά την οποία σκαλίστηκε το συγκεκριμένο σχήμα.

Αν τέλος αγνοήσετε το Ο του Φ, θα παρατηρήσετε ότι εγγεγραμμένο υπάρχει και ένα σχήμα, το οποίο μοιάζει σαν δύο αντικριστά "Ε", κολλημένα πλάτη με πλάτη. Το σχήμα αυτό, το οποίο απαντάται και σε άλλα σκαλίσματα, παραπέμπει, όπως θα γίνει ευχερέστερα αντιληπτό παρακάτω, στο παμπάλαιο σύμβολο του αστερισμού των Ιχθύων

Ας προχωρήσουμε όμως. Το εγγεγραμμένο σε πεντάγωνο πεντάκτινο αστέρι των σχημάτων 3, 4 και 5 απαντάται περίπου στην αρχή, το μέσο και το τέλος της διαδρομής, κατά μήκος χονδρικά της οποίας βρίσκονται σκαλισμένα τα περισσότερα σχήματα.

Το σχήμα 6 αποτελείται από ένα οκτάγωνο, εντός του οποίου εγγράφονται ένας κύκλος και ένας σταυρός, που με τη σειρά τους σχηματίζουν πάλι ένα ωραιότατο Φ. Στις διαστάσεις του σχήματος ενυπάρχει βεβαίως και πάλι η γνωστή αναλογία.

Έχουμε λοιπόν: ΑΒ (η πλευρική διάμετρος του οκταγώνου) ≈ 41,0 cm και ΓΔ (η διάμετρος του κύκλου) ≈ 25,5 cm, ΑΒ/ΓΔ ≈ 1,61 ≈ Φ.

Το περίγραμμα τώρα του συμβόλου, μοιάζει με πυξιδογραφικό σχεδιάγραμμα, του οποίου οι γωνίες ορίζουν Βορρά, Νότο, Ανατολή, Δύση, ενώ οι καμπύλες με τις εγκοπές τους τις ενδιάμεσες κατευθύνσεις. Οι γωνίες του οκταγώνου συμπίπτουν ακριβώς με τις κατευθύνσεις του περιγράμματος, υποδηλώνοντας και αυτές τα οκτώ κύρια σημεία του ορίζοντα (Β, Ν, Α, Δ, ΒΑ, ΒΔ, ΝΑ, ΝΔ). Σημειώστε το αυτό στα «κρατούμενα» προς το παρόν, κι ας προχωρήσουμε στο επόμενο σχήμα.

Το σχήμα 7 αποτελεί το πλέον περίτεχνο σε σχέση με τα υπόλοιπα, φέροντας αναμφίβολα στην επιφάνεια του πολλές ώρες λεπτής και κοπιαστικής εργασίας. Όπως και στα άλλα σχήματα που έχουμε δει, έτσι και στο συγκεκριμένο, οι διαστάσεις και οι αναλογίες της σχεδίασης του παραπέμπουν στο Φ.

Κάτι που ίσως δε γίνεται άμεσα εμφανές από τη φωτογραφία, είναι ότι το μεγάλο τρίγωνο είναι ισόπλευρο, με μήκος πλευρών περίπου 54 cm. Το πως ένα ισόπλευρο τρίγωνο ορίζει με τις αναλογίες του το Φ -όπως άλλωστε συμβαίνει και με το εγγεγραμμένο στον κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.


Και για του λόγου το αληθές:
ΑΒ ≈ 16,3 cm, ΒΓ ≈ 10,1 cm, ΑΒ/ΒΓ (έχουμε την αίσθηση ότι δεν εκπλήσσεστε πια) ≈ 1,61≈ Φ.

Το σχήμα 7 βεβαίως, συγκεντρώνει πολλά ακόμη ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Προσέξτε για παράδειγμα τα τριγωνικά βέλη που εξέχουν από τον κύκλο (υπάρχουν και δύο πολύ μικρά οριζόντια βέλη εκατέρωθεν του παραλληλογράμμου που περικλείει τον ιχθύ) και θυμίζουν το πυξιδογράφημα του σχήματος 6.

Τα τρίγωνα, καθώς και τα εξάκτινα αστέρια τα οποία «γεμίζουν» το εσωτερικό του τριγώνου, σχετίζονται και αυτά με το Φ. Προσέξτε επίσης τις οριζόντιες «ακτίνες», οι οποίες εξέχουν από την κορυφή κυρίως του τριγώνου. Μήπως το όλο σχήμα σας θυμίζει το σύμβολο αυτό...

... ή ίσως αυτό, που βρίσκεται τυπωμένο στα χαρτονομίσματα του ενός δολαρίου...


Το σχήμα 8 «βαδίζει στα χνάρια» των προηγούμενων γεωμετρικών σχημάτων. Το εξάκτινο αστέρι ενέχει και αυτό στις αναλογίες του το Φ, ενώ στο εσωτερικό του σχηματίζεται και ένας γωνιώδης σταυρός. (www.iranon.gr 5/5/08)

Το Φ στη Βίβλο του Ισλάμ
Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν - Qur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα'α - qara'a που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114 κεφάλαια (Σούρα). Ο αριθμός 114 είναι διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114. Το 114 προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π, ήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός του ότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσης σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034
(users.sch.gr 5/5/08)


Το Φ στις Αρχαιοελληνικές τοποθεσίες οι Αρχαίοι Έλληνες για τις αποστάσεις χρησιμοποιούσαν σαν μονάδα μέτρησης το "στάδιο" .
Υπάρχει μία απίστευτη Γεωγραφική συμμετρία του Ελλαδικού χώρου και των αποστάσεων ή των γεωμετρικών σχημάτων που σχηματίζουν σημαντικά μνημεία της Ελλαδικής αρχαιότητας π.χ Σχηματίζεται ένα ισοσκελές τρίγωνο μεταξύ της Ακρόπολης της Αθήνας, με τον ναό του Ποσειδώνα στο Σούνιο και τον ναό της Αφαίας Αθηνάς στην Αίγινα με απόσταση 242 στάδια. (εικ. 1)
Σε κάθε γνωστό μνημείο της Αρχαίας Ελλάδας (π.χ μαντείο των Δελφών , το ιερό νησί της Δήλου , το ιερό της Δωδώνης κ.λ.π) όταν "χαράξουμε" Κύκλο με κέντρο το μνημείο και ακτίνα ένα άλλο μνημείο , τότε η νοητή περιφέρεια του κύκλου θα περάσει και από άλλο ένα μνημείο ή πόλη ! (π.χ κέντρο "την Δωδώνη" και ακτίνα κύκλου "την Αθήνα" .... τότε η περιφέρεια του Κύκλου θα περάσει από την Σπάρτη ! , κέντρο η "οι Δελφοί" - ακτίνα η Αθήνα - θα περάσει η περιφέρεια και από την Ολυμπία... , Δήλος - Αργος - Μυκήνες .... και πάρα πολλά άλλα παραδείγματα...) .
Η Χαλκίδα απέχει απ' την Θήβα και το Αμφιάρειο, 162 (Φ*100) στάδια (το ίδιο) . Η απόσταση Θήβας - Αμφιάρειο είναι 262 στάδια (162 x 1.62 = 2.62 αλλά και 100 x φ2= 262) το τρίγωνο υπακούει στην αρμονία του χρυσού αριθμού φ=1.62. Η Χαλκίδα ισαπέχει επίσης απ' την Αθήνα και τα Μέγαρα 314 στάδια. Δηλαδή παρουσιάζονται ο χρυσός αριθμός φ και το π εκατονταπλασιασμένα.
Η Σμύρνη ισαπέχει απ' την Αθήνα και την Θεσσαλονίκη (1620 στάδια). (Φ x 1000) . Εκτός από την "ιερή" γεωγραφία του αρχαίου Ελλαδικού χώρου , είναι γνωστό ότι το Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με αναλογίες και συνδυασμούς του ΧΡΥΣΟΥ αριθμού Φ = 1,618034 και του π =3,1415927 . Η κλίση της Μεγάλης Πυραμίδας είναι 51º και 51' 1/Φ = 0,618033 = συν 51º 49' 38 .ο 'θάλαμος" του νεκρού Φαραώ βρίσκεται σε εκείνο το σημείο του ύψους ..... όπου στο νοητό ευθύγραμμο τμήμα "ΥΨΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ" έχουμε την χρυσή τομή ..... στον "θάλαμο του Φαραώ" ! , επίσης όλα τα "πατώματα" της Πυραμίδας στις αναλογίες τους (αποστάσεις) εμπεριέχουν το Φ
εικ 1
(www.asxetos.gr 14/3/08)





το Φ στον ΑΝΘΡΩΠΟ
το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες Φ . Η απόσταση ζωτικών οργάνων (π. χ εγκέφαλος-καρδιά, στομάχι, κ.λ.π) εμπεριέχει αναλογίες Φ . Δεν είναι τυχαίο ότι πολλές "ανατολίτικες θρησκείες" και κινήματα στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για ΔΙΑΛΟΓΙΣΜΟ και "αυτοσυγκέντρωση" και σε εκείνες τις προσπάθειες για διαλογισμό ή στο λεγόμενο "γιόγκα" η στάση του Ανθρώπινου σώματος (η οκλαδόν) γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι ώστε τα "κεντρικά - κομβικά" σημεία του σώματος να βρίσκονται σε μία αναλογία μεταξύ τους ΧΡΥΣΗ , σε αναλογίες Φ(το Φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4 και το αντίστροφο 1/Φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4) Εξάλλου είναι γνωστό ότι οι περισσότεροι Πλαστικοί χειρούργοι στις επεμβάσεις τους χρησιμοποιούν τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και επιδιώκουν να επιτύχουν αναλογίες βασισμένες στο θεώρημα της Χρυσής τομής και τον Χρυσό αριθμό Φ .








Εικόνες από το Φ στον ανθρωπο






το Φ στην OΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗ
"....οι γιατροί πρέπει να επιδιώκουν την "Χρυσή τομή"... δηλ. την αναλογία 1.618:1 που οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν απαραίτητη για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να φαίνεται όμορφο.
"Η Χρυσή τομή δεν αναφέρεται μόνον στη γραμμική διάσταση του λάτους" μας εξηγεί. "Δεν μπορείτε να μετρήσετε κάθε δόντι ξεχωριστά για να δείτε αν αυτό βρίσκεται στην Χρυσή τομή", λέει ο οδοντίατρος. Αντίθετα, χρησιμοποιώντας την απεικόνιση σε υπολογιστή, ο Goldstein καθορίζει αυτήν την αναλογία βασιζόμενος στον τρόπο με τον οποίο τα δόντια συμμετέχουν στο τόξο. Π.χ. ένας κεντρικός τομέας πλάτους 8 mm συνήθως δεν έχει καλή αναλογία με ένα πλάγιο τομέα πλάτους 7 mm.
Εν τούτοις, αν ο τελευταίος στραφεί κατά μία γωνία, ο συνωστισμός μπορεί να κάνει τα δόντια να φαίνονται καλά. "Αν κατόπιν αυτά τα δόντια διευθετηθούν, μπορεί να μην φαίνονται ικανοποιητικά", λέει ο Goldstein "γιατί δεν εμπίπτουν στην αναλογία της Χρυσής τομής".
(www.asxetos.gr 5/5/08)


Λογαριθμική σπείρα
Η σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. Η κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. Η λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο.Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος.(εικ 1) Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων.(εικ 2) Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.(εικ 3) Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. Η ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. Η δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με «παγκόσμιες» ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου δια τη διάμετρο του. Για τον λόγο αυτόν οι μαθηματικοί παριστάνουν τη Χρυσή Τομή με ένα άλλο ελληνικό γράμμα, το φι, οπότε έχουμε ότι φ = 1,62
1. 2.
3. (www.freewebtown.com/gr)
Χρύσα σχήματα
"χρυσά τρίγωνα"...



ΑΓ/ΒΓ = Φ ΑΒ/ΓΔ = Φ

Ο εγγεγραμμένος σε πεντάγωνο αστέρας σχηματίζει ομάδες από 5 άνισα μεταξύ τους τρίγωνα, όλα εκ των οποίων αποτελούν "χρυσά τρίγωνα".
(users.sch.gr 5/5/08)

Κατασκευή χρυσού ορθωγωνίου
Γεωμετρική κατασκευή ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου όπου οι αναλογίες των πλευρών είναι ίσες με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ
1.

2.

3.


4.



5.

6.







Συμπεράσματα - Συνοψίζοντας .. Χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος (γενικά και ενός μετρήσιμου μεγέθους) είναι το σημείο εκείνο όπου ο λόγος του "συνολικού μεγέθους-τμήματος" προς τον μεγαλύτερο τμήμα ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "μικρότερο τμήμα" . Ο λόγος σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και είναι ίσος με Φ=1,618034.
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία ΣΤΑΘΕΡΑ ,ανεξάρτητη από το μετρήσιμο
μέγεθος και το είδος που γραφικά απεικονίζεται με το "ευθύγραμμο τμήμα" , αναφέρεται κυρίως σε ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΣΥΝΘΕΣΗ των επιμέρους στοιχείων που συνθέτουν ένα σύνολο (π.χ πλευρές ορθογώνιου παραλληλογράμμου) .
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" , όσο πιο πολύ βάθος έχει η ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ τόσα πιο πολλά δεκαδικά και ακριβέστερη απεικόνιση έχουμε του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ "προσεγγίζεται" από την διαίρεση των όρων που συνθέτουν την ακολουθία Fibonachi .Αλλά ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ δεν είναι ένα απλό Μαθηματικό τρικ , δεν είναι ένα θεώρημα , μία μαθηματική "τιμή" της γεωμετρικής κατασκευής του "θεωρήματος της ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ" , είναι μία ΘΕΪΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ , μία ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ , ένα μυστήριο ΖΩΗΣ που συναντάμε καθημερινά , ίσως και να του χρεωστάμε περισσότερα από ότι νομίζουμε ...ίσως ... και την ύπαρξη μας ? (www.asxetos.gr 9/3/08) 
Σας ζητω συγγνώμη για το οτι δεν φαινονται οι εικόνες. Αν ενδιαφέρεστε για αυτο το αρθρο επικοινωνηστε μαζι μου μεσω e-mail ή μπειτε στις ιστοσελιδες που αναγραφονται στις παρενθέσεις!




H LivePedia.gr είναι μια ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια που αναπτύσσεται χάρη στην εθελοντική προσπάθεια των χρηστών της.
Όλοι μπορούν να δημιουργήσουν νέα λήμματα ή να βελτιώσουν και να διορθώσουν λήμματα που ήδη υπάρχουν.

Ακολουθήστε τη LivePedia.gr στο Twitter


Προσωπικά εργαλεία
LivePedia στο iPhone
Χορηγός Φιλοξενίας Διακομιστή
*σημείωση
  • Εάν παρατηρήσετε κάποια διαφήμιση που δεν ταιριάζει εδώ, παρακαλούμε σημειώστε τη διεύθυνση στην οποία οδηγεί και ενημερώστε μας με email στο livepedia@gmail.com.